Problemas geométricos complejos … No lo sé, pero como notarías es muy difícil de resolver utilizando métodos ordinarios, este es un problema bastante simple, nada sofisticado, pero suficiente para demostrar el poder de los productos de punto.
Supongamos que se le da un triángulo como este, y ha dividido [matemáticas] BC [/ matemáticas] en la relación [matemáticas] m: n [/ matemáticas], luego le pido que averigüe la longitud de [matemáticas] AD [/ matemáticas]. Posiblemente podría usar teoremas de geometría euclidiana, pero no sería trivial.
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Ahora comencemos: – observando que:
[matemáticas] n \ vec {BD} + m \ vec {DC} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {AB} = \ vec {AD} + \ vec {DB} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {AC} = \ vec {AD} + \ vec {DC} [/ matemáticas]
Ahora
[matemáticas] AB ^ {2} = [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {AB} \ cdot \ vec {AB} = [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ vec {AD} + \ vec {DB}) \ cdot (\ vec {AD} + \ vec {DB}) [/ math]
[matemáticas] = AD ^ {2} + DB ^ {2} + 2 \ vec {AD} \ cdot \ vec {DB} [/ math]
[matemáticas] AC ^ {2} = \ vec {AC} \ cdot \ vec {AC} = (\ vec {AD} + \ vec {DC}) \ cdot (\ vec {AD} + \ vec {DC}) = AD ^ {2} + DC ^ {2} + 2 \ vec {AD} \ cdot \ vec {DC} [/ math]
Ahora haga una cosa: multiplique [math] n [/ math] con la primera ecuación y [math] m [/ math] con la segunda, luego sume.
[matemáticas] \ implica nAB ^ {2} + m {AC} ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (m + n) AD ^ {2} + nDB ^ {2} + mDC ^ {2} + 2 \ vec {AD} \ cdot (n \ vec {DB} + m \ vec {DC}) [/matemáticas]
[matemáticas] = (m + n) AD ^ {2} + nDB ^ {2} + mDC ^ {2} [/ matemáticas]
De este modo, a partir de esta fórmula, puede obtener el valor de [matemáticas] AD. [/ math] Espero que sepas cómo calcular [math] BC [/ math] y [math] DC. [/ math]
Los resultados como el teorema de Ceva / el teorema de Menelao pueden demostrarse mediante métodos vectoriales.
La distancia más corta entre dos líneas oblicuas [1] en también una de mis aplicaciones favoritas.
Se pueden encontrar otras aplicaciones en geometría sólida y trigonometría esférica; el uso de vectores puede simplificar muchas cosas.
Uno de mis ejemplos favoritos es la condición de dependencia lineal de los vectores:
[matemáticas] [\ vec {A}, \ vec {B}, \ vec {C}] = 0 [/ matemáticas]
Espero que esta respuesta haya sido un poco útil.
imagen dibujada en: mspaint
Notas al pie
[1] Distancia más corta entre dos líneas que no se cruzan – Material de estudio para IIT JEE